Question

（2013•汕頭一模）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
（I）設(shè)b_n=a_n+n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）若c_n=(

1

2

)n-a_n，P=

2013

i=1

1+ 1 c 2 i + 1 c 2 i+1

，求不超過P的最大整數(shù)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)，令n=1可求a₁，n≥2時(shí)，利用a_n=s_n-s_n-1可得a_n與a_n-1之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等可證等比數(shù)列
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求nb_n，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的和
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求a n=(

1

2

)n-n，進(jìn)而可求c_n，代入P中利用裂項(xiàng)求和即可求解

解答：解：（Ⅰ） 因?yàn)?span id="pmaehik" class="MathJye">Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-1，則a₁=-

1

2

，…．（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an-1+sn-1=-

1

2

(n-1)2-

3(n-1)

2

+1，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以bn=

1

2

bn-1，而b₁=a₁+1=

1

2

，…．（3分）
所以數(shù){b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
所以bn=(

1

2

)n．…．（4分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nbn=

n

2n

．
所以  ①Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②2Tn=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…．（6分）
②-①得：Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…．（7分）
Tn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n
∴c_n=n…（9分）
而

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
所以P=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

，
故不超過P的最大整數(shù)為2013．…..（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的錯(cuò)位相減求和及裂項(xiàng)求和方法的綜合應(yīng)用