Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求所有滿足條件的三項(xiàng)組成的數(shù)列a₁、a₂、a₃；
（2）試求出數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n與它的前一項(xiàng)a_n-1間的遞推關(guān)系．是否存在滿足條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₃=-2012？若存在，求出這樣的無(wú)窮數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可得到結(jié)論；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13，兩式相減，得2Sn=an+12-an+1，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n與它的前一項(xiàng)a_n-1間的遞推關(guān)系；利用a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以無(wú)窮數(shù)列{a_n}的前2012項(xiàng)組成首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，從第2013項(xiàng)開(kāi)始組成首項(xiàng)為-2012，公比為-1的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a12=a13，由a₁≠0得a₁=1．（1分）
當(dāng)n=2時(shí)，(1+a2)2=1+a23，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
當(dāng)n=3時(shí)，(1+a2+a3)2=1+a23+a33，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；（5分）
綜上討論，滿足條件的數(shù)列有三個(gè)：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．（6分）
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．
從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13．（7分）
兩式相減，結(jié)合a_n+1≠0，得2Sn=an+12-an+1．（8分）
當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=(an+12-an+1)-(an2-an)，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．（12分）
又a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以無(wú)窮數(shù)列{a_n}的前2012項(xiàng)組成首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，從第2013項(xiàng)開(kāi)始組成首項(xiàng)為-2012，公比為-1的等比數(shù)列．
故an=

n(1≤n≤2012) 2012•(-1)n(n＞2012)

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的探究，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n與它的前一項(xiàng)a_n-1間的遞推關(guān)系是關(guān)鍵．