Question

如圖，橢圓E：的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，，利用可得：2a²=3b⁴，結(jié)合a²=b²+4，即可求得橢圓M的方程；
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，利用向量的運(yùn)算，表示出，從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，用坐標(biāo)表示出，即可求得的最大值；
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x，y），用坐標(biāo)表示出，利用配方法，即可求得結(jié)論；
方法3：分類討論：直線EF的斜率存在與不垂直，EF的方程與圓的方程聯(lián)立，用坐標(biāo)表示出，利用配方法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，，
由可得：2a²=3b⁴，又a²=b²+4，則3b⁴-2b²-8=0，解得：b²=2，a²=4，
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則==．
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x，y），所以，即．…（8分）
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，2），所以．…（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190702185205320/SYS201310241907021852053020_DA/20.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值12． 
所以的最大值為11．…（12分）
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x，y），因?yàn)镋，F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），所以
所以=（x₁-x）（-x₁-x）+（y₁-y）（4-y₁-y）
==．…（6分）
因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以，即．…（10分）
所以==．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190702185205320/SYS201310241907021852053020_DA/34.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，．…（12分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設(shè)EF的方程為y=kx+2，
由，解得．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），所以，即．
所以，…（8分）
所以．…（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190702185205320/SYS201310241907021852053020_DA/43.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值11．
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨設(shè)，E（0，3），F(xiàn)（0，1）． 因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），
所以，即．所以，．
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190702185205320/SYS201310241907021852053020_DA/51.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值11．
綜上可知，的最大值為11．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確表示是關(guān)鍵．