精英家教網(wǎng)如圖,已知面PBC⊥矩形ABCD所在平面,△PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ABCD是正方形,且E、F分別為AB、PD的中點(diǎn);
(1)求證:EF∥平面PBC;
(2)點(diǎn)G在PD上移動(dòng),求證:EF⊥CG;
(3)求三棱錐C-BEF的體積.
分析:(1)取PC的中點(diǎn)H,連接FH,EF,BH,根據(jù)三角形的中位線定理,及矩形的性質(zhì),可得四邊形EBHF為平行四邊形,即EF∥BH,再由線面平行的判定定理,即可得到答案.
(2)由已知中面PBC⊥矩形ABCD所在平面,△PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ABCD是正方形,由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BH⊥PC,由正方形的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥BH,由線面垂直的判定定理可得BH⊥平面PCD,結(jié)合(1)中結(jié)論及線面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PCD,再由線面垂直的性質(zhì)得到EF⊥CG;
(3)由E、F分別為AB、PD的中點(diǎn),我們可以分析出三棱錐C-BEF與棱錐P-ABCD高及底面面積的關(guān)系,求出棱錐P-ABCD的體積后,即可得到三棱錐C-BEF的體積.
解答:證明:(1)取PC的中點(diǎn)H,連接FH,EF,BH
∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)
精英家教網(wǎng)∴FH∥CD且FH=
1
2
CD,
又由ABCD為矩形
∴FH∥AB且FH=
1
2
AB,
即四邊形EBHF為平行四邊形
即EF∥BH
又∵EF?平面PBC,BH?平面PBC
∴EF∥平面PBC;
(2)∵△PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
∴BH⊥PC,
又∵四邊形EBHF為平行四邊形
∴DC⊥BC
又由面PBC⊥矩形ABCD所在平面,
∴DC⊥面PBC
又∵BH?面PBC
∴DC⊥BH
又由PC∩BH=H
∴BH⊥平面PCD
由(1)得EF∥BH
∴EF⊥平面PCD
由CG?平面PCD
∴EF⊥CG;
(3)過P點(diǎn)作PI⊥BC,易得PI即為棱錐P-ABCD的高,且PI=
3

則VP-ABCD=
1
3
•2•2•
3
=
4
3
3

又∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn);
∴三棱錐C-BEF的高是棱錐P-ABCD的高的一半,
三棱錐C-BEF的底面面積是棱錐P-ABCD的底面面積的四分之一,
VC-BEF=
3
6
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),棱錐的體積,其中根據(jù)已知條件,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒,是解答此類問題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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(1)求證:DC∥平面PAB;
(2)求證:PO⊥平面ABCD;
(3)求證:PA⊥BD.

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12
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如圖,已知面PBC⊥矩形ABCD所在平面,△PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ABCD是正方形,且E、F分別為AB、PD的中點(diǎn);
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