【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，且.


（1）過(guò)作截面與線段交于點(diǎn)H，使得平面，試確定點(diǎn)H的位置，并給出證明；

（2）在（1）的條件下，若二面角的大小為，試求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）H為線段上靠近點(diǎn)P的五等分點(diǎn)，即，證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)．證明，即可證明平面．

（2）以，為x，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的正弦值即可．

（1）如圖，連接交于點(diǎn)E，

由，易知相似于.

∴，

又平面，平面平面，

∴，

∴，即H為線段上靠近點(diǎn)P的五等分點(diǎn)，即.

（2）由，相似于，可得，

∵平面平面，且平面平面，∴平面，

∴為二面角的平面角，∵，∴，

又，∴，，

又易知，∴平面，即是平面的法向量，

如圖，以，為x，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，∴，，

∴，直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，，.

（Ⅰ）若是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圓周上有個(gè)白點(diǎn),先將其中一個(gè)染為黑色(稱為第一次染色),對(duì)任何正整數(shù),第次染色后按逆時(shí)針方向間隔個(gè)點(diǎn)將下個(gè)點(diǎn)染成與原來(lái)顏色相反的顏色(稱為第次染色).

(1)對(duì)給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個(gè)點(diǎn)均為白色？

(2)對(duì)給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個(gè)點(diǎn)均為黑色？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）

2

4

5

6

8

該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）

30

40

60

50

70

年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）

19

58

45

71

70

注：

（1）從該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，求這3年中至少有2年生產(chǎn)部門考核優(yōu)秀的概率.

（2）利用上表中五年的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）的回歸直線方程是 ①.現(xiàn)該公司計(jì)劃從2019年開始轉(zhuǎn)型，并決定2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬(wàn)臺(tái)，且預(yù)計(jì)2019年可獲利32（百萬(wàn)元）；但生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)，若用預(yù)計(jì)的2019年的數(shù)據(jù)與2014-2018年中考核優(yōu)秀年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程，只有當(dāng)重新估算的，的值（精確到0.01），相對(duì)于①中，的值的誤差的絕對(duì)值都不超過(guò)時(shí)，2019年該產(chǎn)品返修率才可低于千分之一.若生產(chǎn)部門希望2019年考核優(yōu)秀，能否同意2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬(wàn)臺(tái)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（參考公式：， ，，相對(duì)的誤差為.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年3月，各行各業(yè)開始復(fù)工復(fù)產(chǎn)，生活逐步恢復(fù)常態(tài)，某物流公司承擔(dān)從甲地到乙地的蔬菜運(yùn)輸業(yè)務(wù)．已知該公司統(tǒng)計(jì)了往年同期200天內(nèi)每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，單位：件．注：蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），并分組統(tǒng)計(jì)得到表格如表：

蔬菜量X

[40，80）

[80，120）

[120，160）

[160，200）

天數(shù)

25

50

100

25

若將頻率視為概率，試解答如下問(wèn)題：

（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定隨機(jī)抽出3天的數(shù)據(jù)來(lái)分析配送的蔬菜量的情況，求這3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；

（2）該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運(yùn)營(yíng)從甲地到乙地的蔬菜運(yùn)輸．已知一輛貨車每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛貨車每趟最多可裝載40件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利2000元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損400元．為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)最大，該物流公司應(yīng)一次性租賃幾輛貨車？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)、為拋物線上的兩點(diǎn)，與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，、為拋物線（除原點(diǎn)外）上的不同兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)、的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是的十進(jìn)制寫法中最后一個(gè)非零數(shù)字．證明：0·…是無(wú)理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】港珠澳大橋是中國(guó)建設(shè)史上里程最長(zhǎng)，投資最多，難度最大的跨海橋梁項(xiàng)目，大橋建設(shè)需要許多橋梁構(gòu)件。從某企業(yè)生產(chǎn)的橋梁構(gòu)件中抽取件，測(cè)量這些橋梁構(gòu)件的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為.

（1）求這些橋梁構(gòu)件質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；

（2）用分層抽樣的方法在區(qū)間內(nèi)抽取一個(gè)容量為的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取件橋梁構(gòu)件，求這件橋梁構(gòu)件都在區(qū)間內(nèi)的概率

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