Question

數(shù)列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）．
（1）若a₁=-20，求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)a₁＞-27時(shí)，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用題設(shè)遞推式表示出a_n+2+a_n+1，兩式相減求得a_n+2-a_n為常數(shù)，進(jìn)而判斷出a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數(shù)列，進(jìn)而分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)利用疊加法和等差數(shù)列求和公式求得答案．
（2）分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)表示出S_n，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得其最小值，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）∵

an+1+an=3n-54 an+2+an+1=3n-51

，兩式相減得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，…，與a₂，a₄，a₆，…都是d=3的等差數(shù)列
∵a₁=-20
∴a₂=-31，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=-20+(

n+1

2

-1)×3=

3n-43

2

；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=-31+(

n

2

-1)×3=

3n-68

2

；
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）++（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n2-27n=

3

4

(n-18)2-243，
∴當(dāng)n=18時(shí)，（S_n）_min=-243；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）++（a_n-1+a_n）=

3

4

n2-27n+

105

4

+a1=

3

4

(n-18)2-216

3

4

+a1，
∴當(dāng)n=17或19時(shí)（S_n）_min=a₁-216＞-243；綜上，當(dāng)n=18時(shí)（S_n）_min=-243．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與函數(shù)思想的綜合．