正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為
2
,M、N分別是AC和DC1上的點,且AM=DN=x
(1)求證MN∥平面BCC1B1
(2)設(shè)MN=y,求函數(shù)y=f(x)
(3)當(dāng)MN最短時,求MN與AC所成的角.
分析:(1)過點N,作NP∥CC1,可得NP∥平面BCC1B1 ,且
DN
DC1
=
DP
DC
.由條件可得
DN
DC1
=
AM
AC
,故有
DP
DC
=
AM
AC
,可得PM∥AD,故 PM∥BC.可得MP∥
平面BCC1B1 ,可得平面MNP∥平面BCC1B1 .從而證得MN∥平面BCC1B1
(2)由三角形相似求得 MP=
2
(1-
x
2
),NP=
2
2
x
,可得函數(shù)y=f(x)=
NP2+MP2
=
(x-1)2+1
,(0<x<2).
(3)由(2)可得,當(dāng)x=1時,MN最短為1,此時,M、N分別為AC、DC1的中點,MN與AC所成的角即為∠NMC.求得MP、NP、MN的值,可得∠NMC 的值,
即為所求.
解答:解:(1)過點N,作NP∥CC1,則由CC1?平面BCC1B1,NP不在平面平面BCC1B1 內(nèi),
可得NP∥平面BCC1B1 ,且
DN
DC1
=
DP
DC

∵AM=DN,AC=DC1,∴CP=CM,∴
DN
DC1
=
AM
AC

故有
DP
DC
=
AM
AC
,∴PM∥AD,PM∥BC.
再由BC?平面BCC1B1,NP不在平面平面BCC1B1 內(nèi),可得MP∥平面BCC1B1 ,
再由MP∩NP=P,可得平面MNP∥平面BCC1B1
再由MN不在平面BCC1B1內(nèi),可得MN∥面BCC1B1
(2)由(1)可得三角形MNP為直角三角形,設(shè)MN=y,由于AM=DN=x,正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為
2
,
MP
AD
=
CM
CA
,可得
MP
2
=
2-x
2
,∴MP=
2
(1-
x
2
 ),且0<x<2.
NP
CC1
=
DN
DC1
 可得
NP
2
=
x
2
,NP=
2
2
x

故函數(shù)y=f(x)=
NP2+MP2
=
x2-2x+2
=
(x-1)2+1
,(0<x<2).
(3)由(2)可得,當(dāng)x=1時,MN最短為1,此時,M、N分別為AC、DC1的中點,
MN與AC所成的角即為∠NMC.
由于此時,MC=
AC
2
=1=NC,MN=
(
2
2
)
2
+(
2
2
)
2
=1,故△MNC為等邊三角形,故∠NMC=
π
3
,
即MN與AC所成的角等于
π
3
點評:本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用,求兩條直線所成的角,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2)設(shè)點P在線段GH上,
GP
GH
=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
10
10

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