Question

【題目】若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．
∴3x+4y=3x+=f（x），
f′（x）=3+=，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＞x＞時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值為1．
（2）∵正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，
∴5xy≥2，
解得：xy≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=時(shí)取等號(hào)．
∴xy的最小值為．
【解析】（1）法一：由正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用基本不等式，掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：即可以解答此題．