Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知， 為橢圓的左、右頂點， 為其右焦點， 是橢圓上異于， 的動點，且面積的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交于點，當直線繞點轉動時，試判斷以

為直徑的圓與直線的位置關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為， ．

由題意知解得， ．

故橢圓的方程為，離心率為．……6分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設直線的方程為 .

則點坐標為， 中點的坐標為．

由得．

設點的坐標為，則．

所以， ．……………………………10分

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，點的坐標為.

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．

當時，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點到直線的距離 ．

又因為，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的特征可得當點在點時， 面積最大，即可列，由題目條件知，結合，進而求得橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）設，由題意可設直線的方程為，可得點與中點的坐標，聯立直線與橢圓的方程得，進而表示出點的坐標，結合點，再寫出直線的方程，根據點到直線的距離等于直徑的一半，進而解得此問．

試題解析：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為， ．

由題意知解得， ．

故橢圓的方程為，離心率為．

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設直線的方程為 ．

則點坐標為， 中點的坐標為．

由得．

設點的坐標為，則．

所以， ．

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，點的坐標為．

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．

當時，則直線的斜率．

所以直線的方程為．

點到直線的距離 ．

又因為，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．