Question

【題目】已知向量 =（sinx，2cosx）， =（5 cosx，cosx），函數(shù)f（x）= +| |2﹣ ．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（ ， ）時(shí)，f（x）=﹣3，求cos2x的值；
（3）若cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），且f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）= +| |2﹣ ．

可得：f（x）= sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x﹣

= sin2x+ ﹣ cos2x+3+3cos2x-

= sin2x+ cos2x

=5sin（2x+ ）

∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

（2）解：當(dāng)x∈（ ， ）

可得2x+ ∈[ ，2π]

∵f（x）=﹣3，即5sin（2x+ ）=﹣3

∴sin（2x+ ）=-

∴cos（2x+ ）=

∴cos2x=cos[（2x+ ）- ）=cos（2x+ ）cos ）+sin（2x+ ）sin ）=

（3）解：由題意∵cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），

∴x∈[- ， ]，

∵f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)f（x）與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．

f（x）=5sin（2x+ ）

∴2x+ ∈[- ， ]

令2x+ =t，則t∈[- ， ]，那么f（x）=5sin（2x+ ）轉(zhuǎn)化為g（t）=5sint與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．

，g（t）=5sint圖象如下：

從圖象可看出：當(dāng)﹣5≤m 或m=5時(shí)，函數(shù)y=m與g（t）=5sint只有一個(gè)交點(diǎn)．故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|﹣5≤m 或m=5}

【解析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算建立關(guān)系，求解f（x），利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期（2）根據(jù)x∈（ ， ）時(shí)，出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，f（x）=﹣3，化簡(jiǎn)f（x），可求cos2x的值．（3）根據(jù)cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），確定x的范圍，利用數(shù)形結(jié)合法作f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，可得答案．