已知函數(shù)f(x)=
x2x+a
(a∈R)
,(1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;(2)當(dāng)a=-1時,討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性.
分析:(1)要判斷函數(shù)的奇偶性,只要檢驗(yàn)f(-x)與f(x)的關(guān)系,由于f(-x)=
x2
a-x
f(x)=
x2
a+x
,故需考慮a是否為0,從而要對①a=0②a≠0兩種情況進(jìn)行判斷
(2)當(dāng)a=-1時,f(x)=
x2
x-1
,要判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,只要設(shè)x1<x2∈(1,+∞),然后通過判斷f(x1)-f(x2)=
x12
x1-1
-
x22
x2-1
的正負(fù)可得斷f(x1)與f(x2)的大小即可
解答:解:(1)當(dāng)a=0時,f(x)=
x2
x
,x≠0
,f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)是奇函數(shù)
當(dāng)a≠0時,f(-1)=
1
a-1
,f(1)=
1
1+a
,這時f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1)
所以f(x)不滿足f(x)=f(-x)及f(x)=-f(-x)對任意的x都成立,故函數(shù)是非奇非偶數(shù)
綜上可得,當(dāng)a=0時,函數(shù)為奇函數(shù)
當(dāng)a≠0時,函數(shù)為非奇非偶數(shù)                                                  
(2)當(dāng)a=-1時,f(x)=
x2
x-1

設(shè)x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
x12
x1-1
-
x22
x2-1
=
x12x2 -x12-x1x22+x22
(x1-1)(x2-1)

=
x1x2(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)   
(x1-1)(x2-1)
=
(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]
(x1-1)(x2-1)
 
當(dāng)x1<x2∈(1,2]時,0<x1-1<x2-1≤1
x1-x2
(x1-1)(x2-1)
<0
,x1x2-(x1+x2)=(x1-1)(x2-1)-1<0
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2
所以f(x)是區(qū)間(1,2]的單調(diào)遞減函數(shù). 
當(dāng)x1<x2∈(2,+∞)時,同理可證函數(shù)f(x)單調(diào)遞增
故函數(shù)f(x)是區(qū)間[1,2]的單調(diào)遞減函數(shù),在(2,+∞)上單調(diào)遞增
點(diǎn)評:本題主要考察了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的定義的 應(yīng)用,屬于基本方法的考察,解題的難點(diǎn)在于單調(diào)性的判斷中的變形定號時的計(jì)算.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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