已知一列非零向量an滿足:a1=(x1,y1),an=(xn,yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).

(1)證明{|an|}是等比數(shù)列;

(2)設(shè)θn=〈an-1,an〉,bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求Sn.

(1)證明:|an|==

=|an-1|(n≥2).

∴,且|a1|=2≠0.∴{|an|}是公比為的等比數(shù)列.

(2)解:∵an-1·an=(xn-1,yn-1)·(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)=(xn-12+yn-12)=|an-1|2,

∴cos＜an,an-1＞=.

∴θn=＜an,an-1＞=.∴bn=2n·-1=π-1,

即Sn=(-1)+( -1)+(-1)+…+( -1)=  (1+2+…+n)-n

=·-n= (n2+n)-n.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一列非零向量
an
，n∈N*，滿足：
a1
=（10，-5），
an
=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n32 ）．，其中k是非零常數(shù)．
（1）求數(shù)列{|
an
|}是的通項公式；
（2）求向量
an-1
與
an
的夾角；（n≥2）；
（3）當k=
1
2
時，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列，記為
b1
，
b2
，…，
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
，O為坐標原點，求點列{Bn}的極限點B的坐標．（注：若點坐標為（tn，sn），且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，則稱點B（t，s）為點列的極限點．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一列非零向量
an
滿足：
a1
=(x1，y1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）證明：{|
an
|}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求向量
a
n-1與
a
n的夾角(n≥2)；
（Ⅲ）設(shè)
a
1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列，記為
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0為坐標原點，求點列{Bn}的極限點B的坐標．
（注：若點Bn坐標為(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，則稱點B(t，s)為點列{Bn}的極限點．）

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科目：高中數(shù)學 來源：濰坊模擬 題型：解答題

已知一列非零向量
an
滿足：
a1
=(x1，y1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）證明：{|
an
|}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求向量
a
n-1與
a
n的夾角(n≥2)；
（Ⅲ）設(shè)
a
1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列，記為
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0為坐標原點，求點列{Bn}的極限點B的坐標．
（注：若點Bn坐標為(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，則稱點B(t，s)為點列{Bn}的極限點．）

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科目：高中數(shù)學 來源：杭州一模 題型：解答題

已知一列非零向量
an
，n∈N*，滿足：
a1
=（10，-5），
an
=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n32 ）．，其中k是非零常數(shù)．
（1）求數(shù)列{|
an
|}是的通項公式；
（2）求向量
an-1
與
an
的夾角；（n≥2）；
（3）當k=
1
2
時，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列，記為
b1
，
b2
，…，
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
，O為坐標原點，求點列{Bn}的極限點B的坐標．（注：若點坐標為（tn，sn），且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，則稱點B（t，s）為點列的極限點．）

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