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設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx為奇函數(shù),且在x=-1時(shí)取得極大值.
(I)求b,c;
(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(III)解不等式|f(x)|≤2.

解:(I)求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=3x2+2bx+c
∵函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx為奇函數(shù),且在x=-1時(shí)取得極大值
∴f(-1)+f(1)=0,f′(1)=0
∴b=0,3+2b+c=0
∴b=0,c=-3;
(II)f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
令f′(x)>0可得x<-1或x>1;令f′(x)<0可得-1<x<1
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-1,1);
(III)不等式|f(x)|≤2,等價(jià)于-2≤f(x)≤2
∴f(x)-2=x3-3x-2=(x+1)2(x-2)≤0,且f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)≥0
∴-2≤x≤2
即不等式的解集為{x|-2≤x≤2}.
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx為奇函數(shù),且在x=-1時(shí)取得極大值,建立方程,可求b,c;
(II)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(III)不等式|f(x)|≤2,等價(jià)于-2≤f(x)≤2,由此可得不等式的解集.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解不等式,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
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12
,1)
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