【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的焦點F與拋物線E:y2=4x的焦點重合,直線x-y+=0與以原點O為圓心,以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.
(Ⅰ)直線x=1與橢圓交于不同的兩點M,N,橢圓C的左焦點F1,求△F1MN的內(nèi)切圓的面積;
(Ⅱ)直線l與拋物線E交于不同兩點A,B,直線l′與拋物線E交于不同兩點C,D,直線l與直線l′交于點M,過焦點F分別作l與l′的平行線交拋物線E于P,Q,G,H四點.證明:
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用條件得橢圓方程,將x=1代入橢圓得M,N坐標(biāo),求出△F1MN的周長和面積,進(jìn)而得內(nèi)切圓半徑;
(Ⅱ)設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式表示弦長,進(jìn)而化簡運算即可證明.
試題解析:
(Ⅰ) 依題意,得c=1,e==,
即=,∴a=2,∴b=,∴所求橢圓C的方程為+=1.
直線l的方程為x=1,得M,N,
設(shè)△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R,
則△F1MN的周長=4a=8,S△F1MN= (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R.
又因為S△F1MN=3=4R,∴R=,所求內(nèi)切圓的面積為π.
(Ⅱ)設(shè)直線l和l′的方程分別為x=k1y+m1,x=k2y+m2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由方程組得
y2-4k1y-4m1=0、
方程①的判別式Δ>0,得4k12+4m1>0.
由①得y1+y2=4k1,y1y2=-4m1,
由方程組得
y2-4k2y-4m2=0、
方程②的判別式Δ>0,得4k22+4m2>0.
由②得y3+y4=4k2,y3y4=-4m2.
聯(lián)立直線l與直線l′的方程可得:M點坐標(biāo)為.
因為|MA|·|MB|=(1+k12),代入計算得,
|MA|·|MB|=·|(m2-m1)2+4k1k2(m1+m2)-4(m1k22+m2k12)|.
同理可得
|MC|·|MD|=(1+k22)=
·.
因此=.
由于PQ,HG分別與直線l和直線l′平行,故可設(shè)其方程分別為x=k1y+1,x=k2y+1.
由方程組得
y2-4k1y-4=0.、
由③得yP+yQ=4k1,yPyQ=-4,
因此|PQ|=xP+xQ+p=k1(yP+yQ)+4=4(1+k12).
同理可得|HG|=xH+xG+p=k1(yH+yG)+4=4(1+k22).
故=.
所以=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),若同時滿足下列條件:
①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;
②存在區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b],則把y=f(x),x∈D叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)f(x)= x+ ,(x>0)是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)已知[a,b]是正整數(shù),且定義在(1,m)的函數(shù)y=k﹣ 是閉函數(shù),求正整數(shù)m的最小值,及此時實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線焦點且傾斜角的直線與拋物線交于點 的面積為.
(I)求拋物線的方程;
(II)設(shè)是直線上的一個動點,過作拋物線的切線,切點分別為直線與直線軸的交點分別為點是以為圓心為半徑的圓上任意兩點,求最大時點的坐標(biāo).
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【題目】已知曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線 上的點按坐標(biāo)變換 得到曲線 .
(1)求曲線 的普通方程;
(2)若點 在曲線 上,點 ,當(dāng)點 在曲線 上運動時,求 中點 的軌跡方程.
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【題目】在△ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,己知c﹣b=2bcosA.
(1)若a=2 ,b=3,求c;
(2)若C= ,求角B.
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【題目】某次數(shù)學(xué)測驗共有10道選擇題,每道題共有四個選項,且其中只有一個選項是正確的,評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:每選對1道題得5分,不選或選錯得0分,某考試每道都選并能確定其中有6道題能選對,其余4道題無法確定正確選項,但這4道題中有2道能排除兩個錯誤選項,另2題只能排除一個錯誤選項,于是該生做這4道題時每道題都從不能排除的選項中隨機(jī)挑選一個選項做答,且各題做答互不影響.
(Ⅰ)求該考生本次測驗選擇題得50分的概率;
(Ⅱ)求該考生本次測驗選擇題所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】設(shè)集合U={x∈N|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},則S∩(UT)=( )
A.{1,2,4}
B.{1,2,3,4,5,7}
C.{1,2}
D.{1,2,4,5,6,8}
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【題目】若二次函數(shù) 的圖象和直線y=x無交點,現(xiàn)有下列結(jié)論:
①方程f[f(x)]=x一定沒有實數(shù)根;
②若a>0,則不等式f[f(x)]>x對一切實數(shù)x都成立;
③若a<0,則必存存在實數(shù)x0 , 使f[f(x0)]>x0;
④若a+b+c=0,則不等式f[f(x)]<x對一切實數(shù)都成立;
⑤函數(shù) 的圖象與直線y=﹣x也一定沒有交點.
其中正確的結(jié)論是(寫出所有正確結(jié)論的編號).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|. 設(shè)D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.
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