Question

【題目】如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側，且，.點F為AD中點，連接EF.

（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AB中點為O，連接OC、OF，證明四邊形OCEF為平行四邊形，EF∥OC，然后證明EF∥平面ABC；

（2）以O為坐標原點，分別以、、的方向為x、y、z軸正方向，建立空間直角坐標系．不妨令正三角形ABC的邊長為2，求出相關的的坐標，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，取法向量的方向一進一出，利用空間向量的公式求解即可．

（1）證明：取AB中點為O，連接OC、OF，∵O、F分別為AB、AD中點，

∴OF∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴EF∥OC，

又OC平面ABC且EF平面ABC，∴EF∥平面ABC．

（2）∵三角形ABC為等邊三角形，O為AB中點，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，

又BD⊥AB且BD平面ABD，∴BD⊥平面ABC，又OF∥BD，∴OF⊥平面ABC，

以O為坐標原點，分別以、、的方向為x、y、z軸正方向，建立空間直角坐標系．

不妨令正三角形ABC的邊長為2，則O（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，2），

∴，，設平面AEC的法向量為，則，

不妨令，則，

設平面AED的法向量為，

令

得，

∴，

∴所求二面角C﹣AE﹣D的余弦值為．