Question

某公司有價值a萬元的一條生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入資金，相應(yīng)就要提高生產(chǎn)產(chǎn)品的售價．假設(shè)售價y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與a-x和x的乘積成正比；②x=

a

2

時y=a²；
③0≤

x

2(a-x)

≤t其中t為常數(shù)，且t∈[0，1]．
（1）設(shè)y=f（x），試求出f（x）的表達(dá)式，并求出y=f（x）的定義域；
（2）求出售價y的最大值，并求出此時的技術(shù)改造投入的x的值．

Answer 1

（1）設(shè)y=k(a-x)x，當(dāng)x=

a

2

時y=a2，可得k=4，∴y=4（a-x）x∴定義域為[0，

2at

1+2t

]，t為常數(shù)，t∈[0，1]
（2）y=4(a-x)x=-4(x-

a

2

)2+a2
當(dāng)

2at

1+2t

≥

a

2

時，即

1

2

≤t≤1，x=

a

2

時，ymax=a2
當(dāng)

2at

1+2t

＜

a

2

時，即0≤t＜

1

2

時，y=4（a-x）在[0，

2at

1+2t

]上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=

2at

1+2t

時，ymax=

8at2

(1+2t)2

從而當(dāng)

1

2

≤t≤1時，投入x=

a

2

時，售價y最大為a²萬元；
當(dāng)0≤t＜

1

2

時，投入x=

2at

1+2t

時，售價y最大為

8at2

(1+2t)2

萬元．