Question

振華中學(xué)有一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組共有10名同學(xué)，其中男同學(xué)x名，現(xiàn)要選出3人去參加某項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，若至少有一名女生去參加的概率為f（x）．
（1）求f（5）；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10個(gè)人中選3人去參加某項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，至少有一名女生去參加的對(duì)立事件是沒(méi)有女生去參加，沒(méi)有女生去參加，根據(jù)古典概型和對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）列出關(guān)于f（x）的解析式，展開(kāi)組合數(shù)整理成關(guān)于變量的一元三次函數(shù)形式，根據(jù)自變量的取值范圍，對(duì)于一元三次函數(shù)求解，借助于導(dǎo)數(shù)求最值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從10個(gè)人中選3人去參加某項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)共有C₁₀³種結(jié)果，
至少有一名女生去參加的對(duì)立事件是沒(méi)有女生去參加，沒(méi)有女生去參加共有C₁₀³-C₅³種結(jié)果，
∴根據(jù)古典概型和對(duì)立事件的概率公式得到
f（5）=

C 3 10 - C 3 5

C 3 10

=

11

12

，
（2）f（x）=

C 3 10 - C 3 x

C 3 10

=1-

1

720

(x3-3x2+2x)3≤x≤10，x∈N，
則f′（x）=-

1

720

(3x2-6x+2)=-

1

720

[3(x-1)2-1]，
x∈[3，10]3（x-1）²-1＞0恒成立，∴f′（x）在x∈[3，10]上恒小于0，
∴f（x）在[3，10]上為減函數(shù)．
∴f（3）最大，
∴f（x）的最大值是

C 3 10 - C 3 3

C 3 10

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率和導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)綜合題，可以作為高考題，對(duì)立事件包含于互斥事件，是對(duì)立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對(duì)立事件，認(rèn)識(shí)兩個(gè)事件的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．