Question

半平面α與平面β相交成一個銳二面角θ，α上的一個圓在β上的射影是一個離心率為

1

2

的橢圓，則θ=

30°

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)圓的半徑為r，由題意可得b=r，根據(jù)離心率與a，b，c的關(guān)系可得a=

2 3

3

r，所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．

解答：解：由題意可得：α上的一個圓在β上的射影是一個離心率為

1

2

的橢圓，也可以說為：β上的一個離心率為

1

2

的橢圓在α上的射影是一個圓，
設(shè)圓的半徑為r，所以b=r，
又因為

c

a

=

1

2

，并且b²=a²-c²，所以a=

2 3

3

r．
所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．
故答案為：30°．

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，以及橢圓的性質(zhì)，是解析幾何與立體幾何結(jié)合的一道綜合題．