Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)．求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得到關(guān)于m，n的方程組，即可解得m=

1

4

，n=

1

3

．最后寫(xiě)出橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）先設(shè)△DFH邊上的高為h，由于S△DFH=

1

2

×2×h=h，得到當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為

3

，再設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，從而救是R的最大值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得m=

1

4

，n=

1

3

．
∴橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）|FH|=2，設(shè)△DFH邊上的高為h，S△DFH=

1

2

×2×h=h
當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為

3

，所以S_△DFH的最大值為

3

．
設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，
所以R的最大值為

3

3

．所以內(nèi)切圓 圓心的坐標(biāo)為(0，±

3

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，利用待定系數(shù)法求解．