Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意可知 在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)， ，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，即可求得在上單調(diào)遞增，即可求得的取值范圍；
（2） 若在上存在極值，則或，分類討論，分別構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立

設(shè)函數(shù)， ．則．

設(shè)．則．易知當(dāng)時(shí)， ．

∴在上單調(diào)遞增，且．即對(duì)恒成立．

∴在上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

設(shè)，則．

由，得．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

且， ， ．

顯然．

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，

則或．

（�。┊�(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得，且．

當(dāng)變化時(shí)， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值為，且．

∵ ．

設(shè)，其中， ．

∵，∴在上單調(diào)遞增， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

∵，∴．

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值．

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得．

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

此時(shí)， 在上的極大值是，且．

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值為正數(shù)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上存在極值，且極值都為正數(shù)．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．