Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x),且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)=x³.

（1）求f(x)在[1，5]上的表達(dá)式；

（2）若A={x| f(x)>a,x∈R},且A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)(x+2)=-－f(x), x∈R，∴f(x)= －f(x－2).

    當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x－2∈[－1,1],∴f(x)= －f(x－2)= －(x－2)³=(2－x)³.

又f(x)= －f(x+2)=f(x+4), ∴f(x)是以4為周期的函數(shù).

當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，x－4∈[－1,1], f(x)=f(x－4)= (x－4)³. 

（2）當(dāng)  當(dāng)x∈[3,5]時(shí)，y= f(x)=(x－4)³,  ∴y∈[－1,1],  ∴f(x)在[1，5]上的值域?yàn)閇－1,1] ，又f(x)是以4為周期的函數(shù)，∴當(dāng)x∈R時(shí)，f(x) ∈[－1,1]

∴當(dāng)a<1時(shí)，存在x使f(x)>a，故a的取值范圍為a<1.