Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若，求sin2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，求出最小正周期，由確定出的函數(shù)解析式，利用對稱軸公式列出關(guān)系式，將x=代入即可求出φ的值；
（Ⅱ）由第一項確定的函數(shù)解析式，根據(jù)已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，兩邊平方后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式即可求出sin2α的值．
解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期為2π，
∵y=f（2x+）=sin（2x++φ），y=sinx的對稱軸為x=kπ+（k∈Z），
∴令2x++φ=kπ+，將x=代入得：φ=kπ-（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴φ=；
（Ⅱ）∵f（α-）=sin（α-+）=sin（α+）=（sinα+cosα）=，
∴sinα+cosα=，
兩邊平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=，
則sin2α=-．
點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．