Question

已知a∈R，曲線C1：x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0．
（1）若曲線C₁表示圓，求a的取值范圍；
（2）當a=2時，求C₁所表示曲線關于直線2y+1=0的對稱曲線C₂的方程；
（3）在第2題條件下，是否存在整數(shù)m，使得曲線C₁與曲線C₂上均恰有兩點到直線0≤x≤1時，的距離等于1，若存在，求出m值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）化圓的方程為標準方程，利用半徑大于0，可求a的取值范圍；
（2）確定圓心C₁（1，-2）關于直線2y+1=0的對稱點為C₂（1，1），即可得到C₂的方程；
（3）設C₁（1，-2）到直線2x+y+m=0的距離為d₁，設C₂（1，1）到直線2x+y+m=0的距離為d₂，則根據(jù)d₁∈（1，3），d₂∈（1，3），結合m為整數(shù)，可得結論．

解答：解：（1）C1：x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0，即(x-

a

2

)2+(y+a)2=

a2

4

+a+1
當

a2

4

+a+1＞0時C₁表示圓，此時a²+4a+4＞0，∴a≠-2…（3分）
（2）a=2時，C₁：（x-1）²+（y+2）²=4，圓心（1，-2）
圓心C₁（1，-2）關于直線2y+1=0的對稱點為C₂（1，1）
圓C2：(x-1)2+(y-1)2=4…（6分）
（3）設C₁（1，-2）到直線2x+y+m=0的距離為d₁，設C₂（1，1）到直線2x+y+m=0的距離為d₂，則
∵d₁∈（1，3），∴

|m|

5

∈(1，3)，∴|m|∈(

5

，3

5

)，∴m∈(

5

，3

5

)∪(-3

5

，-

5

)…（9分），
∵d₂∈（1，3），∴

|m+3|

5

∈(1，3)，
∴|m+3|∈(

5

，3

5

)，∴m∈(

5

-3，3

5

-3)∪(-3

5

-3，-

5

-3)…（12分）
∴m∈(-3

5

，-

5

-3)∪(

5

，3

5

-3)，
又m為整數(shù)，∴m=-6或3．…（14分）
所以，存在整數(shù)m=-6或3，使得曲線C₁與曲線C₂上均恰有兩點到直線2x+y+m=0的距離等于1                  …（15分）

點評：本題考查圓的標準方程，考查圓的對稱性，考查圓心到直線距離公式的運用，屬于中檔題．