精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．直線l的參數方程是
x=-1+
3
5
t
y=-1+
4
5
t
（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ=
2
sin（θ+
π
4
）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于M、N兩點，求M、N兩點間的距離．
分析：（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C的極坐標方程：ρ=2
2
sin（θ+
π
4
）化成直角坐標方程：x2+y2-x-y=0，問題得以解決；
（2）先將直線l的參數方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲線C是以（
1
2
，
1
2
）為圓心，半徑等于
2
2
的圓，結合點到直線的距離公式及圓的幾何性質，可求得M、N兩點間的距離．
解答：解：（1）將曲線C的極坐標方程化為ρ=
2
sin（θ+
π
4
）=cosθ+sinθ
兩邊都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ
因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2
代入上式，得方求曲線C的直角坐標方程為：x2+y2-x-y=0
（2）直線l的參數方程是
x=-1+
3
5
t
y=-1+
4
5
t
（t為參數），消去參數t得普通方程：4x-3y+1=0，將圓C的極坐標方程化為普通方程為：x2+y2-x-y=0，
所以（
1
2
，
1
2
）為圓心，半徑等于
2
2

所以，圓心C到直線l的距離d=
|4×
1
2
-3×
1
2
+1|
5
=
3
10

所以直線l被圓C截得的弦長為：|MN|=2
(
1
2
2
)2-
9
100
=
41
5
．
即M、N兩點間的距離為
41
5
．
點評：本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設點O為坐標原點，直線l：
x=
2
2
t+4
y=
2
2
t
（參數t∈R）與曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ．
（1）求直線l與曲線C的普通方程；
（2）設直線L與曲線C相交于A，B兩點，求證：
OA
•
OB
=0．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設點O為坐標原點，直線l：
x=t
y=2+2t
（參數t∈R）與曲線C的極坐標方程為 ρcos2θ=2sinθ
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，證明：
OA
•
OB
=0．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34
．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合．圓C的參數方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a為參數），點Q極坐標為（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數方程為極坐標方程；
（Ⅱ）若點P是圓C上的任意一點，求P、Q兩點距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•許昌二模）已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合，且兩坐標系有相同的長度單位，圓C的參數方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（α為參數），點Q的極坐標為（2
2
，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數方程為極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l過點Q且與圓C交于M，N兩點，求當|MN|最小時，直線l的直角坐標方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•大連二模）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系xOy的坐標原點O重合，極軸與x軸的非負半軸重合．曲線C1的參數方程為
x=-2+
10
cosθ
y=
10
sinθ
(θ為參數），曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ．問曲線C1，C2是否相交，若相交請求出公共弦所在直線的方程，若不相交，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案