已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離,等于它到直線的距離.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點(diǎn)和.設(shè)線段,的中點(diǎn)分別為,求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用,具有一定的難度,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,仔細(xì)解答.
(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意得
(x-1)2+y2 |
=|x+1|,由此能求出點(diǎn)M的軌跡C的方程.
(Ⅱ)設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)由題意可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),由
|
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
(Ⅲ)題題設(shè)能求出|EF|=2,所以△FPQ面積S由均值不等式得到。
解:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意得,,化簡得,所以點(diǎn)的軌跡的方程為(或由拋物線定義 解) ……4分
(Ⅱ)設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為 ,
由得.
.
因?yàn)橹本與曲線于兩點(diǎn),所以,.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由題知,直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),有,此時(shí)直線的斜率.
所以,直線的方程為,
整理得.于是,直線恒過定點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線的方程為,也過點(diǎn).
綜上所述,直線恒過定點(diǎn). …………10分
(Ⅲ),面積.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“”成立,所以面積的最小值為.……13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(14分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為。
(I)求動點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與曲線在軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn),點(diǎn)滿足
,求直線在軸上的截距的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為。
(I)求動點(diǎn)的軌跡C的方程;(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與曲線在軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn),點(diǎn)滿足 ,求直線在軸上的截距的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇鹽城中學(xué)高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離,則點(diǎn)的軌跡方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省高三5月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為定值,記的軌跡為.
(1)求的方程,并畫出的簡圖;
(2)點(diǎn)是圓上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過作圓的切線交軌跡于,兩點(diǎn).
(i)證明:;
(ii)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年重慶市高三高考前沖刺試卷文數(shù) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多·
(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)動點(diǎn)的軌跡為,過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若軸正半軸上存在點(diǎn)使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求直線的方程.
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