Question

已知函數(shù)y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)定義可得f（-x）=-f（x），根據(jù)該恒等式可求得c，由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范圍，又b∈Z可求b值，進(jìn)而得a；
（2）定義法，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，只需通過(guò)作差證明f（x₁）＞f（x₂）；

解答：（1）解：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），即

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

，化簡(jiǎn)得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因?yàn)閒（2）＜3，所以

4a+1

2b

＜3②，
將①代入②并整理得

2b-3

2b

＜0，解得0＜b＜

3

2

，
因?yàn)閎∈z，所以b=1，從而a=1，
所以f（x）=

x2+1

x

；
（2）證明：由（1）得f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)..