【題目】已知函數(shù),,其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ),使得不等式成立,試求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,求證:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題第一問根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值,之后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得相應的最值,第二問轉(zhuǎn)化不等式,將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值,從而求得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ) 由題意,,使得不等式成立,
等價于.1分
,
當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以時,取得最大值1.即
又當時,,
所以在上單調(diào)遞減,所以,
故在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此,時,.
所以,則.
實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅱ)當時,要證,只要證,
即證,由于,
只要證.
下面證明時,不等式成立.
令,則,
當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增.
所以當且僅當時,取最小值為1.
法一:,則,即,即,
由三角函數(shù)的有界性,,即,所以,而,
但當時,;時,
所以,,即
綜上所述,當時,成立.
法二:令,其可看作點與點連線的斜率,
所以直線的方程為:,
由于點在圓上,所以直線與圓相交或相切,
當直線與圓相切且切點在第二象限時,
直線取得斜率的最大值為.而當時,;
時,.所以,,即
綜上所述,當時,成立.
法三:令,則,
當時,取得最大值1,而,
但當時,;時,
所以,,即
綜上所述,當時,成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為增進市民的環(huán)保意識,某市有關部門面向全體市民進行了一次環(huán)保知識的微信問卷測試活動,每位市民僅有一次參與問卷測試機會.通過抽樣,得到參與問卷測試的1000人的得分數(shù)據(jù),制成頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計成績得分落在[86,100]中的概率.
(2)設這1000人得分的樣本平均值為.
(i)求(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(ii)有關部門為參與此次活動的市民贈送20元或10元的隨機話費,每次獲贈20元或10元的隨機話費的概率分別為和.得分不低于的可獲贈2次隨機話費,得分低于的可獲贈1次隨機話費.求一位市民參與這次活動獲贈話費的平均估計值.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).
(1)求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程;
(2)直線和曲線相交于點,,設相交弦的長度為,求.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且,,,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程及的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線分別交于點,,求的最大值.
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【題目】已知函數(shù)的圖象關于直線對稱,則( )
A.函數(shù)為奇函數(shù)
B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.若,則的最小值為
D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①:在平行四邊形中,,,將沿對角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.
(1)證明:平面;
(2)若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,卷一《方田》中有如下兩個問題:
[三三]今有宛田,下周三十步,徑十六步.問為田幾何?
[三四]又有宛田,下周九十九步,徑五十一步.問為田幾何?
翻譯為:[三三]現(xiàn)有扇形田,弧長30步,直徑長16步.問這塊田面積是多少?
[三四]又有一扇形田,弧長99步,直徑長51步.問這塊田面積是多少?
則下列說法正確的是( )
A.問題[三三]中扇形的面積為240平方步B.問題[三四]中扇形的面積為平方步
C.問題[三三]中扇形的面積為60平方步D.問題[三四]中扇形的面積為平方步
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù).
(Ⅰ) 求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ) 設,當時,若對任意的,存在,使得≥,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值為(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),是的導函數(shù)。
(1)求的值;
(2)任取兩個不等的正數(shù),且,若存在正數(shù),使得成立。求證:。
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