Question

14、將正三棱柱ABC-A′B′C′的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)在有四種不同的顏色供選擇，則不同的染法總數(shù)為

264

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先分析下底面的涂色方案，有A₄³=24種情況；進(jìn)而對(duì)上底面分析：按A的涂色種類分3種情況討論，每種情況下先分析B，確定C的涂色方案；最后由分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，三棱柱的下底面的顏色互不相同，有A₄³=24種情況，
對(duì)上底面分情況討論可得：
①、A點(diǎn)用第四種顏色，按B的顏色不同又分2種情況；
1°當(dāng)B與C′處顏色一致時(shí)，C處有2種方法，
2°當(dāng)B與A′處顏色一致時(shí)，C處有1種方法；
共3種方法；
②、A點(diǎn)的顏色與B′處一致時(shí)；按B的顏色不同又分3種情況；
1°當(dāng)B處用第四種顏色時(shí)，C處有1種情況，
2°當(dāng)B與A′處顏色一致時(shí)，C處有2種方法，
3°當(dāng)B與C′處顏色一致時(shí)，C處有1種方法，
共1+2+1=4種方法；
③、A點(diǎn)的顏色與C′處一致時(shí)，與②的情況相同，有4種方法；
上底面共11種不同的方法；
綜合可得：不同的染法總數(shù)為24×11=264種；
故答案為：264．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的綜合運(yùn)用，是典型的涂色問(wèn)題；解決此類問(wèn)題，一般要先定一點(diǎn)或面，進(jìn)而對(duì)其他的點(diǎn)面分情況討論．