(理)如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,…,an(n為正整數(shù))滿足條件a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如,由組合數(shù)組成的數(shù)列,,…,就是“對稱數(shù)列”.

(1)設(shè){bn}是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”,其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列,且b1=2,b4=11.依次寫出{bn}的每一項.

(2)設(shè){cn}是項數(shù)為2k-1(正整數(shù)k>1)的“對稱數(shù)列”,其中ck,ck+1,…,c2k-1是首項為50,公差為-4的等差數(shù)列.記{cn}各項的和為S2k-1,當(dāng)k為何值時,S2k-1取得最大值?并求出S2k-1的最大值.

(3)對于確定的正整數(shù)m>1,寫出所有項數(shù)不超過2m的“對稱數(shù)列”,使得1,2,22,…,2m-1依次是該數(shù)列中連續(xù)的項;當(dāng)m>1 500時,求其中一個“對稱數(shù)列”前2 008項的和S2008.

(文)如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,…,am(m為正整數(shù))滿足條件a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如,數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,2,4,8都是“對稱數(shù)列”.

(1)設(shè){bn}是7項的“對稱數(shù)列”,其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列,且b1=2,b4=11.依次寫出{bn}的每一項;

(2)設(shè){cn}是49項的“對稱數(shù)列”,其中c25,c26,…,c49是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求{cn}各項的和S;

(3)設(shè){dn}是100項的“對稱數(shù)列”,其中d51,d52,…,d100是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,求{dn}前n項的和Sn(n=1,2,…,100).

答案:(理)解:(1)設(shè){bn}的公差為d,則b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,

∴數(shù)列{bn}為2,5,8,11,8,5,2.

(2)S2k-1=c1+c2+…+ck-1+ck+ck+1+…+c2k-1=2(ck+ck+1+…+c2k-1)-ck,

S2k-1=-4(k-13)2+4×132-50,∴當(dāng)k=13時,S2k-1取得最大值,

S2k-1的最大值為626.

(3)所有可能的“對稱數(shù)列”是:

①1,2,22,…,2m-2,2m-1,2m-2,…,22,2,1;

②1,2,22,…,2m-2,2m-1,2m-1,2m-2,…,22,2,1;

③2m-1,2m-2,…,22,2,1,2,22,…,2m-2,2m-1;

④2m-1,2m-2,…,22,2,1,1,2,22,…,2m-2,2m-1.

對于①,當(dāng)m≥2 008時,S2008=1+2+22+…+22007=22008-1.

當(dāng)1 500<m≤2 007時,

S2008=1+2+…+2m-2+2m-1+2m-2+…+22m-2009=2m-1+2m-1-22m-2009=2m+2m-1-22m-2009-1.

對于②,當(dāng)m≥2 008時,S2008=22008-1.當(dāng)1 500<m≤2 007時,S2008=2m+1-22m-2008-1.

對于③,當(dāng)m≥2 008時,S2008=2m-2m-2008.當(dāng)1 500<m≤2 007時,S2008=2m+22009-m-3.

對于④,當(dāng)m≥2 008時,S2008=2m-2m-2008.當(dāng)1 500<m≤2 007時,S2008=2m+22008-m-2.

(文)解:(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,則b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴數(shù)列{bn}為2,5,8,11,8,5,2.

(2)S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)-c25=2(1+2+22+…+224)-1=2(225-1)-1=226-3=67 108 861.

(3)d51=2,d100=2+3×(50-1)=149.由題意得d1,d2,…,d50是首項為149,公差為-3的等差數(shù)列.

當(dāng)n≤50時,Sn=d1+d2+…+dn=149n+(-3)=n2+n.

當(dāng)51≤n≤100時,Sn=d1+d2+…+dn=S50+(d51+d52+…+dn)

=3 775+2(n-50)+×3=n2n+7 500.

綜上所述,Sn=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

11、如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n為正整數(shù))滿足條件a1=an,a2=an-1…,an=a1,即ak=an-k+1(k=1,2 …,n ),我們稱其為“對稱數(shù)列”.設(shè){bn}是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”,其中b1,b2,b3,b4成等差數(shù)列,且b1=2,b2+b4=16,依次寫出{bn}的每一項
2,5,8,11,8,5,2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*),滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,4,3,2,1就是“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列bn是項數(shù)為不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項,則數(shù)列bn的前2008項和S2008可以是:①22008-1;②2(22008-1);③3•2m-1-22m-2009-1;④2m+1-22m-2008-1.
其中命題正確的個數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*)滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1 和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列{bn}的前2009項和S2009所有可能為:①22009-1  ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1  ④2m+1-22m-2009-1;其中正確的有( 。﹤.
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*)滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1 和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列{bn}的前2009項和S2009所有可能的取值的序號為( 。
①22009-1   ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1   ④2m+1-22m-2009-1.

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