已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？最大面積等于多少？

（Ⅰ）;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為.

解析試題分析：1.由于題目較長(zhǎng)，一些考生不能識(shí)別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問(wèn)，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關(guān)于、的不等式…… ①.由根與系數(shù)的關(guān)系、，在橢圓上，可以得到關(guān)于、、的等式……  ②．把等式②代入①，可以達(dá)到消元的目的，但問(wèn)題是這里一共有三個(gè)變量，就是消了，那還有關(guān)于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會(huì)成為難點(diǎn).事實(shí)上，在把等式②代入①的過(guò)程中，和一起被消掉，得到了關(guān)于的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）問(wèn)要把的面積函數(shù)先求出來(lái).用弦長(zhǎng)公式求底，用點(diǎn)到直線的距離公式求高，得到的面積，函數(shù)中有兩個(gè)自變量和，如何求函數(shù)的最大值呢？這又成為難點(diǎn).這里很難想到把②代入面積函數(shù)中，因?yàn)棰谥泻腥齻�(gè)變量，即使代入消掉一個(gè)后，面積函數(shù)依然有兩個(gè)自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實(shí)上，也自動(dòng)地消除了，于是得到了面積和自變量的函數(shù)關(guān)系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得
 解方程組得
∴橢圓的方程為．
由，得．
根據(jù)已知得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
∴，
化簡(jiǎn)得：．
設(shè)、，則
．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，滿足題意；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，.
由，得 即 
∵在橢圓上，∴，
化簡(jiǎn)得：．
∵，∴．
∵，
∴，即且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長(zhǎng)，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)AB，CD為⊙O的兩直徑，過(guò)B作PB垂直于AB，并與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，過(guò)P作直線與⊙O分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)AE，AF分別與CD交于G、H

（Ⅰ）設(shè)EF中點(diǎn)為，求證：O、、B、P四點(diǎn)共圓
（Ⅱ）求證:OG =OH.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，A，C關(guān)于軸對(duì)稱，BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，
線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若橢圓C：的離心率e為, 且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)重合．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設(shè)點(diǎn)M(2,0), 點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn), 當(dāng)|MQ|最小時(shí), 試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3) 設(shè)P(m,0)為橢圓C長(zhǎng)軸（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點(diǎn), 若|PA|2＋|PB|2的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān), 求k的值．

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