（1）證明不等式：若x，y＞0，則(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并將結(jié)果填在括號內(nèi)：若x，y，z＞0，則(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≥
9
9
；
（3）試由（1）（2）歸納出更一般的結(jié)論：
若x1，x2，…，xn＞0，則(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
若x1，x2，…，xn＞0，則(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
．
分析：（1）先將左邊展開(x+y)(
1
x
+
1
y
)=2+
x
y
+
y
x
，再利用基本不等式即可證得；
（2）先將左邊展開(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)=3+
x
y
+
y
x
+
z
x
+
x
z
+
z
y
+
y
z
，再利用基本不等式即可證得；
（3）類比（1）（2）可得結(jié)論若x1，x2，…，xn＞0，則(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
解答：解：（1）證明：(x+y)(
1
x
+
1
y
)=2+
x
y
+
y
x
≥4
當且僅當
x
y
=
y
x
即x=y時，等號成立
（2）(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)=3+
x
y
+
y
x
+
z
x
+
x
z
+
z
y
+
y
z
≥9，當且僅當x=y=z時，等號成立
（3）由（1）（2）歸納推廣出更一般的結(jié)論：
若x1，x2，…，xn＞0，則(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
點評：本題以證明不等式為素材，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查基本不等式的運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）在點x=1處取得極值．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明不等式
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
≤
9
10
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃州區(qū)模擬）（理）（1）證明不等式：ln（1+x）＜
x
1+x
（x＞0）．
（2）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
ax
a+x
在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若關(guān)于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0，+∞）上恒成立，求實數(shù)b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個不同的子集，對于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個Ai至少含有三個元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=
0   當i∉AJ時
1        當i∈AJ時  
．
（1）該表中每一列至少有多少個1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項和為f（n），數(shù)列{cn}的通項公式為：cn=5an+1，證明不等式：
5cmn
-
cmcn
＞1對任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
1 2 3 4 5 6 7
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知m，n∈R，f（x）=x2-mnx．
（1）當n=1時，
①解關(guān)于x的不等式f（x）＞2m2；
②若關(guān)于x的不等式f（x）+4＞0在x∈[1，3]上有解，求m的取值范圍；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n=1，證明不等式f(
1
m
)+f(
1
n
)≥7．

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