(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)點(diǎn)Q是軌跡C上一點(diǎn),過點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F(-m,0),交y軸于點(diǎn)M,若||=2||,求直線l的斜率.
(文)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左焦點(diǎn)為F,左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若=-2,求橢圓的方程.
(理)解:(1)設(shè)P(x,y),則=(-3m,0),=(x-4m,y),=(m-x,-y).
∵,
∴-3m(x-4m)=6m.
則點(diǎn)P的軌跡C的方程為=1.
(2)設(shè)Q(xQ,yQ),直線l:y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km).
當(dāng)時,由于F(-m,0),M(0,km),得
(xQ,yQ-km)=2(-m-xQ,-yQ).
xQ=,yQ=km.
又點(diǎn)Q()在橢圓上,所以=1.
解之,得k=±2.
當(dāng)時,xQ=-2m,yQ=-km.
于是=1,解得k=0.
故直線l的斜率是0,±2.
(文)解:(1)設(shè)橢圓方程為,F(-c,0),M(,0).
由,有(,0)=4(-c,0).
則有=4c,即.
∴e=.
(2)設(shè)直線AB的方程為y=(x+c),直線AB與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)可得a2=4c2,b2=3c2.
由
消去y,得11x2+16cx-4c2=0.
x1+x2=,x1x2=c2.
=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2,
且y1·y2=2(x1+c)(x2+c)=2x1x2+2c(x1+x2)+2c2.
∴3x1x2+2c(x1+x2)+2c2=-2,
即c2+2c2=-2.
∴c2=1.則a2=4,b2=3.
橢圓的方程為=1.
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