在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點，且滿足＝＝＝＝k.

(1)求證：M、N、P、Q共面.

(2)當對角線AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形時，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)


解析:

(1)∵  ＝＝k

∴  MQ∥BD，且＝

∴  ＝＝

∴  MQ＝BD

又  ＝＝k

∴  PN∥BD，且＝

∴  ＝＝從而NP＝BD

∴  MQ∥NP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點共面.

(2)∵  ＝，＝

∴  ＝＝,＝

∴  MN∥AC，又NP∥BD.

∴  MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.

∵  MNPQ是正方形，∴  ∠MNP＝90°

∴  AC與BD所成的角為90°，

又AC＝a，BD＝b，＝＝

∴  MN＝a

又  MQ＝b,且MQ＝MN，

b＝a，即k＝.

說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、在空間四邊形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA上依次取點E，F(xiàn)，G，H，若EH、FG所在直線相交于點P，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H使
AE
EB
=
AH
HD
=1，
CF
FB
=
CG
GD
=
1
2
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD中，連接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則
AB
+
1
2
BC
-
3
2
DE
-
AD
化簡后的結果為（　�。�
A、
AB
B、2
BD
C、
0
D、2
DE

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)一模）如圖，已知在空間四邊形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E為BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=6，AD=4，求幾何體ABCD的體積；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若G為△ABD的重心，試問在線段BC上是否存在點F，使GF∥平面ADE？若存在，請指出點F在BC上的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．若AC=BD=a，若四邊形EFGH的面積為
3
8
a2，則異面直線AC與BD所成的角為（　　）
A、30°B、60°
C、120°D、60°或120°

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