橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，其中左焦點(diǎn)F1與拋物線y=-4x的焦點(diǎn)重合，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，切當(dāng)l⊥X軸時(shí)，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求
F2A
•
F2B
的取值范圍．
分析：（1）又拋物線方程求橢圓中c的值，再根據(jù)橢圓與拋物線的通徑比求出a，b關(guān)系式，橢圓方程可解．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，得x1x2與x1+x2，再代入
F2A
•
F2B
，化簡，即可得到關(guān)于k的式子，其范圍也就是
F2A
•
F2B
的范圍．進(jìn)而求出最值．
解答：解：（1）∵橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)F1與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1
∵過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，∴AB為橢圓通徑，CD為拋物線通經(jīng)，
∵
|CD|
|AB|
=2
2
，∴
4
2b2
a
=2
2
，b2=
2
2
a，∵a2=b2+c2，得a=
2
，b=1，∴所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得，
x2
2
+ k2(x+1)2=1
∴x1x2=
2k2-2
1+2k2
，x1+x2=
-4k2
1+2k2
..
F2A
•
F2B
=（x1-1）（x2-1）+y1y2=
7k2-1
1+2k2
=
7
2
--
9
2
1+2k2

∵k2∈[0，+∞），∴
F2A
•
F2B
∈[-1，
7
2
）
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，可得啊（-1，
2
2
）B（-1，-
2
2
），此時(shí)，
F2A
•
F2B
=
7
2
．
綜上，
F2A
•
F2B
∈[-1，
7
2
]
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合應(yīng)用，屬常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握解法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為
2
-1，離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，使
MP
•
MQ
為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
3
，過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-2
2
x-2y=0的圓心C．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)Q是橢圓E上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若|
MQ
|=2|
QF
|，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)M．證明：AB⊥MF；
（3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M′，經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B（A′、B′為切點(diǎn)），使得直線A′B′過點(diǎn)F？若存在，求出拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．

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