Question

（2012•莆田模擬）如圖，橢圓C：

x2

4

+y2=1的上頂點B，M、N是橢圓C上異于點B的兩個動點．
（1）若M為橢圓C的下頂點，N為橢圓C的右頂點，求△BMN外接圓的方程；
（2）若動點M、N關于原點中心對稱，試求直線BM與BN的斜率之積．

Answer 1

分析：法一：（1）依題意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），由kMN=-

1

2

，得直線l的方程為y-

1

2

=2（x-1），由此能求出△BMN外接圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則kBM=

y1-1

x1

，kBN=

-y1-1

-x1

，由此能求出直線BM與BN的斜率之積．
法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），設△BMN的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出△BMN外接圓的方程．
（2）設MN的方程為y=kx，由

x2 4 +y2=1 y=kx

，得

x1= 2 4k2+1 y1= 2k 4k2+1

，或

x2= -2 4k2+1 y2= -2k 4k2+1

，由此能求出直線BM與BN的斜率之積．

解答：解法一：（1）依題意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
∵kMN=-

1

2

，
∴BN的垂直平分線l的斜率k_l=2，
∵BN的中點為（1，

1

2

），
∴直線l的方程為y-

1

2

=2（x-1），
令y=0，得x=

3

4

，
∴外接圓圓心的坐標為（

3

4

，0），
∴外接圓半徑為2-

3

4

=

5

4

，
∴△BMN外接圓的方程為(x-

3

4

)2+y2=

25

16

．

（2）設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
∴kBM=

y1-1

x1

，kBN=

-y1-1

-x1

，
∴k_BM•k_BN=

y1-1

x1

•

-y1-1

-x1

=

y12-1

x12

，
∵

x12

4

+y12=1，
∴y12-1=-

x12

4

，
∴kBM•kBN=

- x12 4

x12

=-

1

4

．

解法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
設△BMN的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

1+E+F=0 1-E+F=0 4+2D+F=0

，
解得

E=0 F=-1 D=- 3 2

，
∴所求圓的方程為x2+y2-

3

2

x-1=0．
（2）直線MN的斜率顯然存在，設MN的方程為y=kx，
由

x2 4 +y2=1 y=kx

，得

x1= 2 4k2+1 y1= 2k 4k2+1

，或

x2= -2 4k2+1 y2= -2k 4k2+1

，
∴k_BM•k_BN=

2k 4k2+1 -1

2 2k2+1

•

-2k 4k2+1 -1

- 2 4k2+1

=-

1

4

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程、直線的斜率等基礎知識、考查運算求解能力、推理論證能力、考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想．