Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知(a7-1)3+2012(a7-1)=1，(a2006-1)3+2012(a2006-1)=-1，則S₂₀₁₂=

2012

．

Answer 1

分析：設f（x）=x³+2012x，則f（x）在R上是增函數，且是奇函數，由條件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1，由此推出a₇+a₂₀₀₆=2．再由等差數列的前n項和公式求出結果．

解答：解：設f（x）=x³+2012x，則f（x）在R上是增函數，且是奇函數，由條件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1．
∴f（a₇-1）+f（a₂₀₀₆-1）=0，f（a₇-1）＞f（a₂₀₀₆-1），
∴a₇-1+a₂₀₀₆-1=0，∴a₇-1＞a₂₀₀₆-1且 a₇+a₂₀₀₆=2．
∴S₂₀₁₂ =

2002×(a 1+ a 2012)

2

=

2002×(a 7+ a 2006)

2

=2012，
故答案為 2012．

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．