Question

（2013•泗陽縣模擬）某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2010年度將進(jìn)行系列促銷活動(dòng)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，該紀(jì)念品的年銷售量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例．若不搞促銷活動(dòng)，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2010年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)一半”之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等．（利潤(rùn)=收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)用）
（1）求出x與t所滿足的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)把該工廠2010年的年利潤(rùn)y萬元表示成促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)；
（3）試問：當(dāng)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，3-x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時(shí)，x=1，求出k的值
（2）通過x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．
（3）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．

解答：解  （1）設(shè)比例系數(shù)為k（k≠0）．由題知，有3-x=

k

t+1

．…（2分）
又t=0時(shí)，x=1．∴3-1=

k

0+1

，k=2．…（4分）∴x與t的關(guān)系是x=3-

2

t+1

(t≥0)．…（5分）
（2）依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)x萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為（3+32x）萬元，促銷費(fèi)用為t萬元，則每件紀(jì)念品的定價(jià)為：（

3+32x

x

•150%+

t

2x

）元/件．…（8分）
于是，y=x•(

3+32x

x

•150%+

t

2x

)-(3+32x)-t，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)．…（11分）
因此，工廠2010年的年利潤(rùn)y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)萬元．
（3）由（2）知，y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)

=50-( 32 t+1 + t+1 2 ) ≤50-2 32 t+1 • t+1 2 =42(當(dāng) t+1 2 = 32 t+1 ，即t=7時(shí)，等號(hào)成立)

…（15分）
所以，當(dāng)2010年的促銷費(fèi)用投入7萬元時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為42萬元．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，屬于中檔題．