Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得，解得．注意驗證（2）注意設(shè)時兩數(shù)的任意性，作差要進行因式分解，提取公因式，最后確定各個因子符號，得差的符號，確定單調(diào)性（3）根據(jù)奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得，利用參變分離轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題：最小值，由二次函數(shù)單調(diào)性確定最小值，即得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：解：（1）∵函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，

∴，解得．

此時，滿足，即是奇函數(shù)．

∴．

（2）任取，且，則，，

于是 ，

即，故函數(shù)在上是增函數(shù)．

（3）由及是奇函數(shù)，知，

又由在上是增函數(shù)，得，即對任意的恒成立，

∵當時，取最小值，∴．