Question

已知直角的三邊長，滿足

（1）在之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為，求的最小值；

（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值；

（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值為； （2） 2、3、4.

（3）證明：由成等比數(shù)列，.

由于為直角三角形的三邊長，證明數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形. 證得，

故對(duì)于任意的都有是正整數(shù).

【解析】

試題分析：（1）是等差數(shù)列，∴，即. 2分

所以，的最小值為； 4分

（2） 設(shè)的公差為，則 5分

設(shè)三角形的三邊長為，面積，，

. 7分

由得，

當(dāng)時(shí)，，

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 9分

綜上所述，滿足不等式的所有的值為2、3、4. 10分

（3）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050610245445923698/SYS201305061025259592727557_DA.files/image002.png">成等比數(shù)列，.

由于為直角三角形的三邊長，知，， 11分

又，得，

于是

.… 12分

，則有.

故數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形. 14分

因?yàn)?，

， 15分

由，同理可得，

故對(duì)于任意的都有是正整數(shù). 16分

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，構(gòu)成直角三角形的條件。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題綜合性較強(qiáng)，涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式及構(gòu)成直角三角形的條件。對(duì)法則是自點(diǎn)變形能力要求高，易出錯(cuò)。