Question

（本題滿分14分）設,函數．
（Ⅰ）證明:存在唯一實數，使；
（Ⅱ）定義數列:,,．
（i）求證:對任意正整數n都有；
(ii) 當時,若，
證明:當k時，對任意都有:

Answer 1

（Ⅰ）證明：略

（Ⅰ）證明: ①.       ………1分
令,則,,
∴.                               ………………………………… 2分
又,∴是R上的增函數.    …………………… 3分
故在區(qū)間上有唯一零點,
即存在唯一實數使.          ………………………………… 4分
②當時,,,由①知,即成立；…… 5分
設當時,,注意到在上是減函數,且,
故有:,即
∴,                   ………………………………… 7分
即.這就是說,時,結論也成立.
故對任意正整數都有:.            ………………………………… 8分
(2)當時,由得:,     ……………… 9分
………10分
當時,,
∴
    ………………………………… 12分
對,
   ………………………………… 13分
    ………………… 14分