Question

（本題滿分18分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（其中是非零的實(shí)數(shù)），若，，成等差數(shù)列，問，， 能成等比數(shù)列嗎？說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，是否存在正整數(shù)、（），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有、的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

（1）；（2），， 是等比數(shù)列；（3）所有、的值分別為．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，整理成關(guān)于公差、首項(xiàng)的方程組，進(jìn)行求解；（2）討論與兩種情況，求和，利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)進(jìn)行證明；（3）利用等比中項(xiàng)得到關(guān)系式，利用放縮法進(jìn)行求不等式.

試題解析：（1）由題意，得，即，解得，則；

（2），

當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列，不符題意；

當(dāng)時(shí)，由，，得，

又， ，

所以，， 是等比數(shù)列。

（3），，，

解不等式，得，

所以，所有、的值分別為.

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)；放縮法.