Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對(duì)任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否為定值？若是定值請(qǐng)求出：若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對(duì)于（2）中的g（a），設(shè)H(a)=-

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[g(a)-27]，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），試判斷a_n+1與a_n的大小，并證明之．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＞a²，可得x²+（a-3）x-3a＞0，所以（x-3）（x+a）＞0對(duì)x∈[1，2]恒成立，又x-3＜0恒成立，可得x+a＜0對(duì)x∈[1，2]恒成立，得出a＜-x，又-x∈[-2，-1]，即可求出a的取值范圍；
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，不妨設(shè)a=p，則q，r恰為方程兩根，由韋達(dá)定理討論即可得出答案．
（3）由（2）得H(a)=-

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(3a3-9a2)，通過求導(dǎo)數(shù)的方法即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)數(shù)列的知識(shí)即可求解．

解答：解：（1）∵f（x）＞a²，∴x²+（a-3）x-3a＞0，
∴（x-3）（x+a）＞0對(duì)x∈[1，2]恒成立，
又∵x-3＜0恒成立，∴x+a＜0對(duì)x∈[1，2]恒成立，
∴a＜-x，又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2．
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，
不妨設(shè)a=p，則q，r恰為方程兩根，由韋達(dá)定理得：
①p+q+r=3，qr=a²-3a，
②p²+q²+r²=a²+（q+r）²-2pr=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，
③p³+q³+r³=a³+（q³+r³）=a³+（q+r）[q²-qr+r²]=3a³-9a²+27．
設(shè)g（a）=3a³-9a²+27，求導(dǎo)得：g（a）=9a²-18a=9a（a-2），
當(dāng)a∈[2，3]時(shí)，g（a）＞0，g（a）遞增；當(dāng)a∈[0，2]時(shí)，g（a）＜0，g（a）遞減；
當(dāng)a∈[-1，0]時(shí)，g（a）＞0，g（a）遞增，
∴g（a）在[-1，3]上的最小值為min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15．
（3）由（2）得H(a)=-

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(3a3-9a2)，
如果a∈（0，1），則H′(a)=3a-

3

2

a2=3a(1-

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a)＞0，∴H（a）在（0，1）為遞增函數(shù)，
易知H（a）∈（0，1），∴a₁∈（0，1）?a₂∈（0，1），a_n∈（0，1）?a_n+1∈（0，1），
又∵an+1-an=-

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2

an3+

3

2

an2-an=-

1

2

an(an-2)(an-1)＜0，
∴a_n+1＜a_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的恒成立問題及數(shù)列的應(yīng)用，難度較大，關(guān)鍵是掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．