Question

【題目】【2017重慶二診】已知橢圓： 的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 面積的最大值為3，此時(shí)直線的方程為

【解析】（Ⅰ）由已知，易知求得點(diǎn)， 的坐標(biāo)，由，利用向量的坐標(biāo)表示可求得點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立右焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓中關(guān)系式，代入橢圓方程進(jìn)行運(yùn)算即可；（Ⅱ）由橢圓對(duì)稱性得， ，由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得的底邊長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離公式求得的高，從而建立所求三角形面積的函數(shù)，通過(guò)求面積函數(shù)的最大值，從而問(wèn)題可得解.

試題解析：（Ⅰ）由題知，故，代入橢圓的方程得，又，

故，橢圓；

（Ⅱ）由題知，直線不與軸重合，故可設(shè)，由得，

設(shè)，則，由與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，

，

， ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

面積的最大值為3，此時(shí)直線的方程為