【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分別是A1B,AC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AEF⊥平面AA1B1B;
(2)若A1A=2AB=2BC=4,求三棱錐F﹣ABC的體積.

【答案】
(1)證明:連結(jié)A1F,則F為A1C的中點(diǎn),

又E是A1B的中點(diǎn),

∴EF∥BC,

∵AA1⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴AA1⊥BC,

又BC⊥AB,AB∩AA1=A,

∴BC⊥平面ABB1A1,

∴EF⊥平面ABB1A1

又EF平面AEF,

∴平面AEF⊥平面ABB1A1


(2)解:∵F是A1C的中點(diǎn),

∴F到平面ABC的距離d= AA1=2,

∴VFABC= = =


【解析】(1)連結(jié)A1F,則F為A1C的中點(diǎn),于是EF∥BC,通過證明BC⊥平面ABB1A1得出EF⊥平面ABB1A1,故而平面AEF⊥平面AA1B1B;(2)F到平面ABC的距離為 AA1=2,代入棱錐的體積公式計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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