Question

如圖所示，在正方體AC₁中，M是棱DD₁的中點(diǎn)，O是平面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)AM與OP所成角是

 

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，給出A、M、O、P的坐標(biāo)，再求出向量

AM

，

OP

的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．

解答：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則有A（2a，0，0），M（0，0，a），O（a，a，0）
∵P是A₁B₁上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)P（2a，m，2a）（0≤m≤2a）．
∴

AM

=(0，0，a)-(2a，0，0)=(-2a，0，a)．
∴

OP

=(2a，m，2a)-(a，a，0)=(a，m-a，2a)，
∴

AM

?

OP

=-2a×a+0×(m-a)+a×2a=0．
∴異面直線(xiàn)AM與OP所成角為

π

2

．
故答案是

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成的角，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算是解決此類(lèi)題的常用方法．此題也可利用證明線(xiàn)面垂直求解．