(1)已知a、b、x∈R且ab≥0,x≠0,求證:|ax+|≥2ab.

(2)已知|x|＜1,|y|＜1,求證:≤1.

(1)證明:|ax+|≥|ax+|2≥4ab,而|ax+|2=a2x2++2ab≥+2ab=4ab,

∴|ax+|≥.

(2)證法一:∵|x|＜1,|y|＜1,

∴1-x2＞0,1-y2＞0,1-xy＞0.

于是要證原不等式成立,只要≤1,即證(1-x2)(1-y2)≤(1-xy)2.

由1-x2-y2+x2y2≤1-2xy+x2y2,x2+y2≥2xy.

而該式顯然成立,故原不等式成立.

證法二:∵|x|＜1,|y|＜1,

∴可設x=cosα(α≠kπ,k∈Z),y=cosβ(β≠kπ,k∈Z).

于是=.

又∵cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)≤1,cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)≤1,

∴cosαcosβ+|sinαsinβ|≤1.

∴≤1,即≤1.

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