Question

如圖，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C₁D．
（1）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求二面角C-AC₁-D大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明面面垂直，需要先證明線面垂直，找出AD⊥平面BC₁，又AD?平面ABC，根據(jù)面面垂直的判斷得到結(jié)論．
（2）根據(jù)有中點連中點的方法，做出輔助線，得到線與線平行，利用線面平行的判定定理得到結(jié)論．
（3）建立坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量，求出這個法向量，另一個平面的法向量可以直接寫出，根據(jù)兩個平面的法向量求出面面夾角的余弦值．

解答：解：（1）證明：依題意，C₁C⊥平面ABC，∵AD?平面ABC∴C₁C⊥AD，…（2分）
又AD⊥C₁D，∴C₁C∩C₁D=C₁∴AD⊥平面BC₁，又AD?平面ABC…（3分）
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（4分）
（2）證明：連接A₁C交AC₁于點E，則E是A₁C的中點，連接DE．…（5分）
由（1）知AD⊥平面BC₁，∴AD⊥BC，∴D是BC中點…（6分）
∴A₁B∥DE…（7分）
又∵DE?平面ADC₁，∵A₁B?平面ADC₁∴A₁B∥平面ADC₁．…（8分）
（3）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)A₁A=AB=AC=2，
則A（0，0，0），D（1，1，0），C₁（0，2，2）．…（9分）

AD

=(1，1，0)，

AC1

=(0，2，2)，
設(shè)平面ADC₁的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m

•

AD

=0，

m

•

AC1

=0，
即

x+y=0 2y+2z=0

，令x=1，得y=-1，z=1，
∴

m

=(1，-1，1)．
取平面CAC₁的一個法向量為

n

=(1，0，0)，…（11分）
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3 •1

=

3

3

．
所以二面角C-AC₁-D大小的余弦值為

3

3

．…（13分）

點評：本題考查空間向量求二面角及直線與平面的位置關(guān)系的證明，第一與第二兩個小題主要應(yīng)用線面關(guān)系的判斷和性質(zhì)定理，第三小題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度比較大的二面角的求法，轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運算，降低了題目難度．