如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線與x軸垂直時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（II）求過點O、，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；

（Ⅲ）求的最大值和最小值．

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）最大值，最小值


解析:

（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點．

設橢圓的方程：．

解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）．

由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，

∴，， ∴ ．        …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故橢圓的方程為 ．                            …………4分

（Ⅱ），

圓過點O、，

圓心M在直線上．

設則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切，

∴

由得解得

所求圓的方程為…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若垂直于軸，則，

         ，

         …………………………………………9分

②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為

   

由    得 

，方程有兩個不等的實數(shù)根．

設，.

,   ………………………………11分

        

        

         = 

 

，所以當直線垂于軸時，取得最大值

當直線與軸重合時，取得最小值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓的中心在原點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，B為橢圓的一個頂點，過點B作與FB垂直的直線BP交x軸于P點，且橢圓的長半軸長a和短半軸長b是關于x的方程3x2-3
3
cx+2c2=0（其中c為半焦距）的兩個根．
（I）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）經(jīng)過F、B、P三點的圓與直線x+
3
y-
3
=0相切，試求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓的中心在原點，長軸AA1在x軸上.以A、A1為焦點的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點，且|CD|＝|AA1|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E，設，當時，求雙曲線的離心率e的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省高三下學期質量檢測數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省南京市白下區(qū)高三二模數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）

如圖，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

 

 

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