Question

如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為2a．DE把△ABC的面積分成相等的兩部分．點D在AB上，點E在AC上．
（1）設AD=x（x≥a），DE=y，求用x表示y的函數關系式；
（2）試確定DE的位置，使DE最短．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理的面積公式算出△ABC的面積，結合已知條件得△ADE的面積等于

1

2

S_△ABC，由此建立關系式算出AE=

2a2

x

，再在△ADE中用余弦定理列式，即可得到用x表示y的函數關系式；
（2）根據（1）的結論，利用基本不等式求最值，即可算出當D點距離A點

2

a時，DE最短．

解答：解：（1）∵△ABC是邊長為2a的等邊三角形，
∴可得△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

×(2a)2sin60°=

3

a²，
又∵DE把△ABC的面積分成相等的兩部分
∴S_△ADE=

1

2

S_△ABC=

3

2

a2
可得

1

2

x•AE•sin60°=

3

2

a2，得AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得
y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°=x²+（

2a2

x

）²-x•（

2a2

x

）=x²+（

2a2

x

）²-2a²
可得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）．
（2）由基本不等式，可得
∵x²+

4a4

x2

≥2

x2• 4a4 x2

=4a²，當且僅當x=

2

a時取等號．
∴y≥

4a2-2a2

=

2

a，即當x=

2

a時，y的最小值是

2

a
即當D點距離A點

2

a時，DE最短，此時DE∥BC，DE的最小值為

2

a．

點評：本題主要考查了基本不等式求最值、利用正余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．同時考查了學生的邏輯推理能力和運用所學知識解決實際應用問題的能力，屬于綜合題．