Question

已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點(diǎn)，M（m，0）（m＞0）是定點(diǎn)，若|MP|的最小值等于

5

3

，則m=

2

3

或

2

+

5

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，因?yàn)閽佄锞�y=F（x）關(guān)于直線直線x=2m對(duì)稱，且P點(diǎn)橫坐標(biāo)x∈[-

2

，

2

]，所以分2m＞

2

和2m≤

2

兩種情況，分別對(duì)F（x）的最小值為

5

9

進(jìn)行討論，解之即可得到實(shí)數(shù)m的值，從而得到本題答案．

解答：解：∵點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點(diǎn)，
∴y²=1-

x2

2

，由此可得|MP|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+（1-

x2

2

），
化簡可得，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，
函數(shù)y=F（x）的圖象是一條拋物線，關(guān)于直線x=2m對(duì)稱
∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)x∈[-

2

，

2

]
∴對(duì)F（x）的最小值分兩種情況加以討論
①當(dāng)2m＞

2

時(shí)，即m＞

2

2

時(shí)，F(xiàn)（x）在[-

2

，

2

]上為減函數(shù)，
∴[F（x）]_最小值=F（

2

）=m2-2

2

m+2=（

5

3

）²，解之得m=

2

+

5

3

（負(fù)值舍去）
②當(dāng)2m≤

2

時(shí)，即0＜m≤

2

2

時(shí)，F(xiàn)（x）在[-

2

，2m]上為減函數(shù)，在[2m，

2

]上為增函數(shù)，
∴[F（x）]_最小值=F（2m）=1-m²=（

5

3

）²，解之得m=

2

3

（負(fù)值舍去）．
綜上所述，m的值為

2

3

或

2

+

5

3

故答案為：

2

3

或

2

+

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在已知它到定點(diǎn)（m，0）的最小距離情況下求實(shí)數(shù)m之值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值等知識(shí)，屬于中檔題．